積と微分とデルタ関数

この記事は明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダーの 16日目の記事です。（15日目：ペンローズ・タイル）

先日ステップ関数の微分というタイトルでデルタ関数について書いた．デルタ関数は関数ではなく，数学的には超関数として定義されるという話であった．今日は超関数の積について書こう．

関数の掛け算で悩む人はいないだろうが，実は超関数では一般的に積が定義できない．このことを考えるため，交換律，結合律を満たす積が定義されているとしよう． $\delta$ は原点以外で0であるため，

$x\delta = 0$

となっていてほしい．すると，

$0 = x^{-1}( x \delta ) = (x^{-1} x) \delta = \delta$

となって矛盾する．

しかしこれでは納得がいかない．今の話では $x^{-1}$ が厄介者である．そこで超関数の空間として $x$ の逆元を含まないものを考えよう．これで上のような矛盾は発生しないはずである．ただ， $x^{-1}$ を含まないにしても連続関数は含んでいるものとする．

だがこれはこれで別の問題が発生する．超関数の嬉しい性質として不連続であろうが何回でも微分できるというものがあるが，これがまた厄介ごとを生むのである．微分演算子 $\mathrm{D}$ が定義されており，積の微分則：

$\mathrm{D}(XY)=(DX)Y+X(DY)$

が成り立っているとする．このとき，

$\begin{eqnarray} \mathrm{D}^2 (fx)&=& (\mathrm{D^2}f)x+2\mathrm{D}f\mathrm{D}x+f(\mathrm{D}^2x) \\ (\mathrm{D}^2f)x&=& \mathrm{D}^2(fx)-2\mathrm{D}f \end{eqnarray}$

である．ここで， $f$ は連続関数 $x( \log |x| -1 )$ であるとしよう．すると，

$\begin{eqnarray} \mathrm{D}(fx) &=& \mathrm{D}(x^2(\log |x| -1 )) = 2x( \log |x| -1 ) + x = 2f + x \\ \mathrm{D}^2(fx) &=& 2\mathrm{D}f + 1 \end{eqnarray}$

となるので，

$(\mathrm{D}^2f)x=\mathrm{D^2}(fx)-2\mathrm{D}f = 2\mathrm{D}f + 1 - 2\mathrm{D}f = 1$

となる． $f$ が超関数に含まれているので，その高階微分である $\mathrm{D}^2f$ も超関数に含まれなくてはならない．しかし，上式より $\mathrm{D}^2f=x^{-1}$ である． $x^{-1}$ は除いたはずなので矛盾してしまう．

この矛盾は連続関数と微分則によって導かれたものであるから，本当に $x^{-1}$ を空間から排除するためにはこれらを諦めなくてはならない．積とデルタを取れば微分が失われ，積と微分を取ればデルタが失われ，デルタと微分を取れば積が失われる．

以上の話はローラン・シュワルツの論文"Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions"で示されたものである．フランス語はさっぱりわからないが重要な部分は数式なので，GoogleとExciteすればだいたいの内容は理解できる．いい時代に生まれたものだ．